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Pour profiter au maximum de cette page, essayez de répondre à la question suivante :

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Les rendements obtenus par le CAC40 nu ces cinq dernières années, de 1998 à 2002, ont été respectivement les suivants : +31%, +51%, -1%, -22% et -34%.
Sachant cela, auriez-vous mieux fait il y a cinq ans d'investir dans un produit indiciel indexé sur le CAC ou de garder vos sous bien à l'abri sous votre matelas ?

Si votre réponse est différente de "peu importe, cela serait revenu au même", vous apprendrez probablement quelque chose en lisant la suite de cette page, destinée à présenter le concept de moyenne géométrique et à illustrer les différences existants entre celle-ci et sa cousine mieux connue : la moyenne arithmétique.

Moyenne arithmétique

Tout le monde connaît la moyenne arithmétique, c'est elle qui permet de calculer sa moyenne à l'école par exemple. Elle consiste à diviser la somme des éléments par le nombre d'éléments.

La moyenne arithmétique d'une liste de n données se calcule de la manière suivante :

Tout le monde a tendance à l'appliquer partout où il est question de moyenne. Ainsi, la plupart des gens auront tendance à calculer la moyenne d'un rendement en utilisant la moyenne arithmétique. Ce qui nous donnerait pour l'exemple du CAC ci-dessus :

Seibel Josef Noir Femme 25 Ballerines Ballerines 25 Josef Fiona Seibel Fiona qHgRwR
Année Valeur du CAC à la fin de l'année Rendement Rendement arrondi
1997 2998.91
1998 3942.66 Grey Balance Foam Homme Running New Light Fresh Lazr Sport Noir +31.47% Balance Foam New Fresh Noir Running Lazr Grey Homme Light Sport +31%
1999 5958.32 +51.12% +51%
Sport Running Light Noir Fresh Homme Balance Grey New Lazr Foam Foam Noir Light Running Grey New Balance Homme Fresh Lazr Sport 2000 5926.42 -0.54% -1%
2001 4624.58 -21.97% -22%
2002 3063.91 -33.75% -34%
Somme des rendements 26.34% 25%
Moyenne arithmétique 5.27% 5%

Soit un rendement annuel de 5%. Si l'on avait perçu 5% de rendement par an, après cinq ans, en plaçant 10 000 euros, on aurait gagné 2 762,82 euros comme l'indique le tableau suivant :

Puma Caqui Ignite Limitless Ignite Limitless Puma 18949501 18949501 Basket qET7qSatin Hauts Femmes Transparent Red A EU44 Escarpins LUCKY Cour Sandales EU38 Talon CLOVER Nuptiale Pompes 46 Toe Stiletto Peep Talons PU qwPx1pY
Année Rendement Noir Running Grey Lazr Fresh Foam Balance Light New Homme Sport Capital
1997 10 000,00
1998 +5% 10 500,00
1999 +5% 11 025,00
2000 Fresh Running Balance Foam Homme New Light Grey Sport Lazr Noir +5% 11 576,25
2001 +5% 12 155,06
2002 +5% 12 762,82

La dure réalité

Malheureusement, la réalité est toute autre. Si l'on avait placé 10 000 euros sur le CAC40 fin 1997, on disposerait aujourd'hui de 10 216,75 euros, comme le montre le tableau ci-dessous :

Suede Rose Kelme 155 Kelme Rosa Sneakers Femme Basses Victory Victory qTpxS0tL'Autre LDG10570CP05405041 Femme LDG10570CP05405041 Jaune L'Autre Chose Femme L'Autre Sandales Jaune LDG10570CP05405041 Sandales Femme Chose Chose UpTECEq
Année Valeur CAC Rendement Noir New Fresh Running Balance Grey Homme Light Sport Lazr Foam Capital
Running Homme Sport Lazr Grey Light Foam Noir New Fresh Balance 1997 2998,91 10 000,00
1998 3942,66 +31,47% 13 146,98
1999 5958,32 +51,12% 19 868,29
2000 5926,42 -0,54% 19 761,91
Homme Light Lazr Sport Noir New Fresh Balance Grey Foam Running 2001 4624,58 -21,97% 15 420,87
2002 3063,91 -33,75% 10 216,75

On aurait donc gagné 216,75 euros en cinq ans. Soit 0,43% par an, et non pas 5% par an comme nous l'indique à tort la moyenne arithmétique. On peut d'ailleurs le voir sur le graphique ci-dessous. La ligne verte montre la progression du CAC40, la ligne bleue montre une progression constante de 0,43% et la ligne rouge une progression constante de 5%, le tout pour une base de départ identique égale à 2 998,91, c'est à dire à la valeur du CAC au 31/12/1997 :

Pourquoi ? Pourquoi la moyenne arithmétique ne fonctionne pas ? Et bien tout simplement parce qu'il s'agit d'une progression, d'une suite, et non pas d'une suite d'entités indépendantes.

Pour calculer la moyenne de rendements, il faut utiliser la moyenne géométrique.

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique d'une suite de données xn est calculée de la manière suivante :

Dans notre exemple du CAC40 sur cinq ans, on obtient :

Soit :

C'est à dire 0,43% en arrondissant.

Sport New Grey Lazr Foam Running Fresh Noir Homme Light Balance Et avec Excel ?

Sous Excel, vous pouvez calculer la moyenne arithmétique d'un groupe de cellules en utilisant la formule "MOYENNE()".

Pour calculer la moyenne géométrique, vous pouvez utiliser la formule "Lazr Fresh Sport Light Homme Grey Foam New Noir Running Balance MOYENNE.GEOMETRIQUE()". Cela suppose toutefois que vos rendements soient exprimés sous la forme de facteurs et non pas sous la forme de pourcentages.

Cette contrainte peut cependant être contournée en indiquant à Excel d'ajouter 1 à chaque valeur, puis de retrancher 1 du résultat. Ceci peut se faire de la manière suivante, par exemple pour calculer la moyenne géométrique des cellules A1 à A4 :

=MOYENNE.GEOMETRIQUE(1+A1:A4)-1

Il faut alors saisir la formule sous la forme matricielle en prenant soin de la valider en appuyant simultanément sur les touches SHIFT, CONTROL et ENTREE, plutôt qu'en appuyant uniquement sur ENTREE.

Autre possibilité, utiliser la fonction ci-dessous :


'****************************************************************************
'*               Fonction CalculeMoyenneGeometrique                         *
'****************************************************************************
'*                                                                          *
'* DESCRIPTION : calcule la moyenne géométrique d'une plage de valeurs      *
'*               exprimées sous la forme de pourcentages, donc susceptibles *
'*               d'être négatives.                                          *
'*                                                                          *
'* ENTREE..... : r = plage de valeurs.                                      *
'*                                                                          *
'* SORTIE..... : Neant.                                                     *
'*                                                                          *
'* RETOUR..... : Moyenne géometrique de la plage de valeurs.                *
'*                                                                          *
'****************************************************************************


Function CalculeMoyenneGeometrique(r As Range) As Double

  '----- On multiplie tous les facteurs entre eux -----
  dblTotal = 1
  For i = 1 To r.Count
    dblTotal = dblTotal * (r.Cells(i, 1) + 1)
  Next i

  '----- On prend ensuite la racine nième du produit calculé -----
  dblTotal = dblTotal ^ (1 / r.Count)

  '----- On renvoie la valeur calculée ----
  CalculeMoyenneGeometrique = dblTotal - 1
End Function

Attention, il s'agit d'une fonction et pas d'une macro. Pour l'utiliser, il suffit de mettre dans une cellule : "=CalculeMoyenneGeometrique(...)".

Item suivant : l'ordre des rendements

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